PYTHAGORAS GRÜNDETE um 530 v. Chr. in Kroton einen Geheimbund. Mit seinen Pythagoreern pflegte er einen Kult, der Zahlen als das wahre Wesen der Dinge sah; sie waren Ausdruck kosmischer Mystik und der Schlüssel, um zu den letzten Wahrheiten zu gelangen. Die Pythagoreer glaubten, alle Zahlen seien entweder ganz oder Brüche, die man durch Division der ganzen Zahlen gewinnt (1/2, -1/3, 17/180). Den meisten von uns ist Pythagoras wegen des nach ihm benannten Lehrsatzes bekannt: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) flächengleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten.
Und es kam der Tag, an dem die Pythagoreer die Rechnung mit einem Dreieck machten, dessen beide Katheten gleich lang waren, also die Seiten eines Quadrates mit der Diagonalen als Hypotenuse. So sehr sich der Klub bemühte, zu solchen ganzzahligen Katheten liess sich für die Hypotenuse weder eine ganze Zahl noch ein Bruch finden. Das Elend fing bereits bei 1 an: 1 im Quadrat plus 1 im Quadrat gleich 2 - und keine Chance, einen Bruch zu finden, dessen Quadrat 2 war. Heute wissen wir, dass die Zahlenwelt der Pythagoreer nur die rationalen Zahlen umfasste. Aber zwischen zwei noch so nahe beieinanderliegenden Brüchen liegen unendlich viele «irrationale» Zahlen, wie jene vertrackte Quadratwurzel 2, welche als Diagonale des Quadrates mit Seitenlänge 1 auftritt.
Die grässliche Entdeckung erschütterte die Pythagoreer; ihr Glaube an die Allmacht der Zahlen war in Frage gestellt. Wenn sie schon etwas so Simples wie die Diagonale eines Quadrates rechnerisch nicht in den Griff bekamen, verlor die ganze Zahlenreligion ihren Glanz. Ein tiefer Riss entstand auch zwischen Geometrie und Arithmetik, weil plötzlich ein trivialer geometrischer Sachverhalt rechnerisch nicht mehr fassbar schien.
Die Überlieferung will wissen, dass die Pythagoreer die Entdeckung der irrationalen Zahlen geheimhielten, um die Richtigkeit ihrer Lehre dem Schein nach zu wahren. Als einer aus der Bruderschaft den Frevel begangen habe, die Wahrheit doch zu verbreiten, sei er ertränkt worden.