NZZ Folio 12/07 - Thema: Rätsel   Inhaltsverzeichnis

Editorial -- In Rätsel-Haft

Von Mikael Krogerus

Am Anfang stand eine Frage: Wie langweilig muss einem sein, dass man anfängt, Sudokus zu lösen? Was denken die Menschen, die da neben einem im Zug sitzen und alle das gleiche Rätsel lösen? In der Antwort liegt, vielleicht, das Geheimnis der menschlichen Lust am Knobeln; sie denken vermutlich alle das Gleiche: nichts. Rätsel sind das Opium des Alltags: Ist man nervös, beruhigt das Ausfüllen der leeren Kästchen, ist man müde, so verhilft das schnelle Erfolgserlebnis zu einem Kick. Die grosse Beliebtheit verrät etwas über zwei unserer grundlegenden Ängste: die vor der Unordnung und jene vor der Leere. Rätsel vermitteln den Eindruck, Lücken füllen zu können, Weiss­stellen auszumerzen und vor allem: dem Durcheinander der Realität zu entfliehen. Nichts Schlechtes sei an dieser Stelle über das Ziel dieser Flucht gesagt – im Gegenteil: wie dieses Heft beweist, ist die Rätselwelt viel lustiger, spannender und lehrreicher, als die müden Gesichter der Sudoku-Löser erahnen lassen. Auch ist sie nicht leichter zu meistern als die Wirklichkeit, wie das schwierigste Rätsel der Schweiz (S. 18) zeigt. Sie glauben die Schweiz zu kennen? Dann knacken Sie die 23 Fragen, und finden Sie den Goldbarren.

Zum Aufwärmen vor dem grossen Rätsel ein kleines: Sie sind Kandidat einer TV-Show und dürfen eine von drei verschlossenen Türen wählen. Hinter einer wartet ein Auto, hinter den anderen beiden steht jeweils eine Ziege. Sie wählen Tür Nummer drei. Der Showmaster weiss, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, und öffnet die Tür mit der Nummer eins – dort steht eine Ziege. Jetzt Ihre Aufgabe: Bleiben Sie bei Tür Nummer drei, oder wechseln Sie zu Nummer zwei? Anders gefragt: Erhöht sich Ihre Chance, das Auto zu gewinnen, wenn Sie die Tür wechseln? Sie bleiben bei Tür Nummer drei? 90 Prozent aller Menschen, die diesen Test machten, auch Nobelpreisträger und Statistiker, wechselten ebenfalls nicht. Richtig wäre es, zu wechseln. Warum?

Das Ziegenproblem

Spielen wir das Spiel – es ist das berühmte «Ziegenproblem» – noch einmal: Sie haben Tür drei gewählt. Jetzt gibt es drei Möglichkeiten: 1. Das Auto steht hinter Tür eins. Dann wird der Showmaster Tür zwei öffnen (Ziege). Wenn Sie jetzt auf Tür eins wechseln, gewinnen Sie das Auto. 2. Das Auto steht hinter Tür zwei. Dann wird der Showmaster Tür eins öffnen (Ziege). Auch in diesem Fall gewinnen Sie, wenn Sie wechseln – auf Tür zwei. 3. Das Auto steht hinter Tür drei. Der Showmaster wird Tür eins oder zwei öffnen (Ziege). Nur in diesem ­einen der drei Fälle verlieren Sie, wenn Sie wechseln. Wer wechselt, gewinnt also in zwei von drei Fällen.

Mikael Krogerus ist NZZ-Folio-Redaktor.



Leserbriefe:

Zu Editorial -- In Rätsel-Haft - NZZ-Folio Rätsel (12/07)

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung zum Ziegenrätsel ist zwar richtig. Dennoch ist die Aussage essentiell falsch. Die Rahmenerzählung sagt Ihnen, dass Sie in einer TV-Show einmal vor diese Entscheidung gestellt werden. Das ist ein Einzelfall, über den die Wahrscheinlichkeitsrechnung genau gar keine Aussage machen kann, und dennoch suggeriert der Text, man müsse die Tür wechseln wenn man das Auto gewinnen wolle. Falsch - diese einmalige Entscheidung kann Ihnen auch die Statistik niemals abnehmen! Sich in genau solchen Einzelfall-Situationen einer vermeintlichen statistischen Wahrheit zu unterwerfen, ist eine fatale Aufgabe der eigenen Freiheit.
Lukas Zeller, Männedorf



Zu Editorial -- In Rätsel-Haft - NZZ-Folio Rätsel (12/07)

Begeistert über das Einführungs-Rätsel «Ziegenproblem», wollte mir meine Freundin überzeug(end)t «beweisen», dass die Gewinn-Chancen bei 2:3 liegen, wenn man seine Entscheidung nach dem ersten Durchgang (und nachdem die erste Tür vom Showmaster geöffnet wurde) revidiert, resp. die Türe wechselt. Wenn dem so wäre, dann höchstens zufällig. Man kann diese Behauptung immer und immer wieder durchspielen, in der Zwischenzeit sogar online. Nur, leider stimmt die zu Hoffnung veranlassende Aussage der 2:3-Gewinn-Chancen nicht. Die Chancen stehen immer bei 50% (50:50/fifty-fifty). Der Grund ist einfach: Der Showmaster öffnet (s)eine Türe nicht nach dem Zufallsprinzip, sondern wohl wissend eine Niete – immer, auch wenn er eine andere als die gewählte öffnet. Und genau diese Tatsache, eben, dass der Showmaster nicht mit dem Zufall spielt, schmälert die Gewinnchancen von 2:3 auf 1:2: Die Kandidaten müssen sich zwischen zwei Türen entscheiden.
Ulrich Senn, per E-Mail



Zu Editorial -- In Rätsel-Haft - NZZ-Folio Rätsel (12/07)

Aufgepasst, der interessante Teil des Ziegenproblems beginnt erst dort, wo die Analyse von Mikael Krogerus aufhört. Stellen Sie sich zur Illustration vor, dass vor Ihnen schon 10 andere Kandidaten das Spiel gespielt haben. Sie haben dabei beobachtet, dass das Auto immmer hinter Türe drei war. Nun sind Sie an der Reihe und wählen wie im Artikel Türe drei, worauf Ihnen der Showmaster Monty Hall (so heisst er im Fachjargon) Türe eins öffnet, hinter der sich eine Ziege befindet. Wäre es in diesem Fall nicht klüger, das Fazit "Wer wechselt, gewinnt also in zwei von drei Fällen" zu missachten und bei Türe drei zu bleiben? Tatsächlich gibt es in Krogerus' Analyse eine versteckte Annahme, die nicht immer zutrifft, nämlich dass die drei erwähnten Fälle (Auto hinter Türe eins, zwei, drei) mit gleichen Wahrscheinlichkeiten von je 1/3 eintreffen. Ist dies nicht der Fall, ist der Ratschlag zu wechseln nicht mehr allgemein gültig. Im oben beschriebenen Szenario mit den 10 Kandidaten gibt Ihnen Ihre Beobachtung zum Beispiel einen starken Hinweis darauf, dass das Auto immer hinter Türe drei sein könnte, und dass die Wahrscheinlichkeiten somit alles andere als gleichförmig sind. Ob es ohne solche Hinweise zulässig ist, gleichförmige Wahrscheinlichkeiten einfach anzunehmen, ist unter Erkenntnistheoretikern eine umstrittene Frage. Klar ist indes nur, dass es für das Ziegenproblem kein Patentrezept gibt.
Prof. Rolf Haenni, Institut für Informatik, Universität Bern



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