Man lernt schon in der Schule, mit Zirkel und Lineal Winkel zu halbieren. Doch die Aufgabe, einen beliebigen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile zu zerlegen, war seit dem Altertum ein ungelöstes mathematisches Problem. Erst 1837 bewies der französische Ingenieur Pierre Laurent Wantzel, dass die Aufgabe nicht für alle Winkel lösbar ist. Zum Beispiel sind 60 Grad nicht drittelbar, das heisst, 20 Grad lassen sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren. Da 20 Grad (gleich 360 Grad durch 18) auch der Mittelpunktswinkel einer Seite des regelmässigen Achtzehnecks in seinem Umkreis ist, bedeutet das gleichzeitig, dass man das reguläre Achtzehneck und folglich auch das reguläre Neuneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

In der Geometrie Euklids waren Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln als Zirkel und Lineal (das ausschliesslich zum Ziehen gerader Linien benutzt wurde) nicht denkbar. In der neuzeitlichen Geometrie lässt man dagegen zahlreiche weitere Hilfsmittel zur mathematischen exakten Winkeldreiteilung zu, zum Beispiel Hebelmechanismen oder das sogenannte Einschieblineal. Eine Methode, die der Benutzung von Zirkel und Lineal an Einfachheit und Eleganz nicht nachsteht, ist das Papierfalten, das man nach dem japanischen «oru» (falten) und «kami» (Papier) auch bei uns Origami nennt. Jede Falte entspricht einer Geraden. Ebenso, wie man beim Zeichnen geometrischer Figuren von der Strichdicke des Zeichenstifts oder Zirkels absehen muss, um zur Geraden zu kommen, muss man in der Papierfalt-Geometrie von der Dicke des Papiers abstrahieren.

So einfach ist die Faltung des Drittelwinkels, die H. Abe 1980 in der japanischen Ausgabe des «Scientific American» veröffentlichte: Sobald man zum unteren Schenkel des Winkels im gleichen Abstand die zwei parallelen Hilfsbrüche gefaltet hat, braucht man nur noch die gezeichneten Punkte B und S gleichzeitig auf den oberen Schenkel des Winkels bzw. die untere Parallele zu legen und das Papier glattzudrücken.