WER IN EINER STADT unterwegs ist, kann sein Ziel nicht ebenso direkt ansteuern wie die Vögel, die in der «Luftlinie» fliegen. Wir müssen den Strassenfluchten folgen.
Die Entfernung in der Luftlinie nennen wir den euklidischen Abstand, nach dem griechischen Mathematiker Euklid, der im vierten Jahrhundert v. Chr. in Alexandria wirkte. Der kürzeste Weg auf den Strassen eines vorgegebenen Stadtplans ist der taximetrische Abstand. Taxifahrer können diesen Weg (oder einen seiner Länge ungefähr entsprechenden Geldbetrag) auf ihren Taxametern ablesen. Der Abstand ist die kürzeste und daher preiswerteste Route vom Start zum Ziel. Um geometrische Figuren, Dreiecke, Kreise, Ellipsen usw. zeichnen zu können, müssen wir voraussetzen, dass die Strassen ein dichtes Netz bilden. In der Planstadt Mannheim besteht es aus geraden Strassen, die sich rechtwinklig schneiden.
Auch in der Taxi-Geometrie nennen wir die kürzeste Verbindung zweier Punkte A und B eine Gerade. In der Mannheimer Taxi-Geometrie sind alle Treppenkurven von A nach B, die an keiner Stelle zurücklaufen, per definitionem Geraden. Es gibt also unendlich viele Geraden durch A und B, und auf allen ist der Abstand von A nach B gleich a + b. Dagegen ist der euklidische Abstand von A und B nach Pythagoras a2 + b2. Wie sieht in dieser Taxi-Geometrie ein Kreis aus? Erinnern wir uns an die Schule: auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r liegen alle Punkte P, die von 0 denselben Abstand r haben. Der Taxi-Kreis vom Radius 3 hat Ecken und sieht wie ein Quadrat aus, das auf der Spitze steht. Falls sein Mittelpunkt 0 im Rathaus liegt, zeigt er dem Amtsboten des Oberbürgermeisters in Mannheim, welche Orte in der Stadt von der Dienststelle in der gleichen Zeit zu erreichen sind.
Nun sollten die Leser imstande sein, eine Mannheimer Ellipse zu zeichnen. Wissen Sie es noch? Auf der Ellipse liegen alle Punkte, deren Summe der Abstände von zwei Punkten gleich gross ist. Darauf beruht die Methode, Ellipsen mit Hilfe eines Zwirnfadens zu zeichnen, der zwischen zwei Stecknadeln gespannt ist.